數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)
許多如數(shù)、函數(shù)、幾何等的數(shù)學(xué)對象反應(yīng)出了定義在其中連續(xù)運算或關(guān)系的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)就研究這些結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，例如：數(shù)論研究整數(shù)在算數(shù)運算下如何表示。此外，不同結(jié)構(gòu)卻有著相似的性質(zhì)的事情時常發(fā)生，這使得通過進一步的抽象，然后通過對一類結(jié)構(gòu)用公理描述他們的狀態(tài)變得可能，需要研究的就是在所有的結(jié)構(gòu)里找出滿足這些公理的結(jié)構(gòu)。因此，我們可以學(xué)習群、環(huán)、域和其他的抽象系統(tǒng)。把這些研究(通過由代數(shù)運算定義的結(jié)構(gòu))可以組成抽象代數(shù)的領(lǐng)域。由于抽象代數(shù)具有極大的通用性，它時�？梢员粦�(yīng)用于一些似乎不相關(guān)的問題，例如一些古老的尺規(guī)作圖的問題終于使用了伽羅理論解決了，它涉及到域論和群論。代數(shù)理論的另外一個例子是線性代數(shù)，它對其元素具有數(shù)量和方向性的向量空間做出了一般性的研究。這些現(xiàn)象表明了原來被認為不相關(guān)的幾何和代數(shù)實際上具有強力的相關(guān)性。組合數(shù)學(xué)研究列舉滿足給定結(jié)構(gòu)的數(shù)對象的方法。
數(shù)學(xué)手抄報封面設(shè)計圖1
數(shù)學(xué)空間
空間的研究源自于歐式幾何。三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有非常著名的勾股定理。現(xiàn)今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓撲學(xué)。數(shù)和空間在解析幾何、微分幾何和代數(shù)幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數(shù)幾何中有著如多項式方程的解集等幾何對象的描述，結(jié)合了數(shù)和空間的概念;亦有著拓撲群的研究，結(jié)合了結(jié)構(gòu)與空間。李群被用來研究空間、結(jié)構(gòu)及變化。
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
主條目：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
為了弄清楚數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)邏輯和集合論等領(lǐng)域被發(fā)展了出來。德國數(shù)學(xué)家康托爾(1845-1918)首創(chuàng)集合論，大膽地向“無窮大”進軍，為的是給數(shù)學(xué)各分支提供一個堅實的基礎(chǔ)，而它本身的內(nèi)容也是相當豐富的，提出了實無窮的思想，為以后的數(shù)學(xué)發(fā)展作出了不可估量的貢獻。
集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數(shù)學(xué)分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學(xué)及數(shù)理科學(xué)中必不可少的工具。20世紀初，數(shù)學(xué)家希爾伯特在德國傳播了康托爾的思想，把集合論稱為“數(shù)學(xué)家的樂園”和“數(shù)學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物”。英國哲學(xué)家羅素把康托的工作譽為“這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。
數(shù)學(xué)手抄報封面設(shè)計圖2
數(shù)學(xué)邏輯
數(shù)理邏輯
數(shù)學(xué)邏輯專注在將數(shù)學(xué)置于一堅固的公理架構(gòu)上，并研究此一架構(gòu)的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產(chǎn)地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果�，F(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計
